1 сентября сего года была была преодолена последняя загвоздка, результатом чего стала примитивнейшая, но с фантастическими последствиями Лемма, понимание которой человеком, знакомым с простейшими арифметическими свойствами равенства Ферма, делает Великую теорему очевидной истиной. И я не стал бы спешить с публикацией завершающих размышлений о теореме и ее доказательстве, если бы не сгущающиеся тучи (закрытие темы на некоторых форумах) над нормальными условиями для моего общения с людьми любознательными и неугомонными в поисках истины (правда, относится это только к русскоязычным сайтам, ибо в англоязычном пространстве все идет как будто своим чередом). Поэтому на случай, если будет закрыта дорога на все математические сайты, можете быть уверены, что все материалы (включая как текст доказательства, так и Заметки) всегда можно найти на сайте http://fox.ivlim.ru.
Итак, я перехожу к рассказу об удивительной Лемме.

1. Поистине сказочная Лемма

Всем хорошо известны два способа записи целого положительного числа.
Первая форма - обычная, стандартная, каноническая. Она состоит из "измерительной шкалы" в виде геометрической прогрессии с коэффициентом n, явлющимся основанием счисления, где каждый из членов (1, 10, 100, и т.д.) является разрядом, к которому приписывается неотрицательная цифра-коэффициент. Этот коэффициент не превышает величины основания счисления (в приведенном случае 10). Так, число 381 может быть записано в виде: 3х100 + 8х10 + 1.
В общем случае целое положительное число "а" записывается в каноническом виде так:
a = a_{s - 1}n^s + a_{s - 2}n^(s - 1) + ... a_3n^2 + a_2n^1 + a_1n^01, где нижними индекасами {s - 1}, {s - 2}, ... 3, 2, 1 обозначаются порядковые номера цифр, считая от конца числа, а верхними - степени основания счисления. Так, число 381 = 3х10^2 + 8х10^1 + 1x10^0.

Вторая форма - избыточно-недостаточная. От канонической формы она отличается тем, что какие-то разряды берутся с отрицательным знаком. Здесь я не буду исследовать случаи, когда отрицательных разрядов несколько или они находятся в середине числа. Рассмотрим лишь всем хорошо знакомый случай чисел с последней отрицательной цифрой-коэффициентом, или попросту с однозначным окончанием, тем более что для доказательства ВТФ этого окажется вполне достаточно.
Избыточно-недостаточная форма числа весьма широко используется для измерения времени (и для штучного подсчета). Так, вместо того, чтобы указать время в стандартной форме "10 часов 57 минут", часто говорят "без 3-х минут 11", т.е. в избыточно-недостаточной форме (замечу, что здесь используется система счисления с основанием 60, а именно: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
Для удобства изложения мы будем обозначать числа, записанные в избыточно-недостаточной форме, звездочкой, а в стандартной форме - без звездочки.

На основании вышеприведенного примера можно сформулировать следующую Лемму:

1) Если в системе счисления с нечетным основанием (> 1) два числа, не кратные основанию и записанные в стандартной и в избыточно-недостаточной форме (a = pn + d и a* = qn - g), равны, то их последние цифры d и g в абсолютных значениях не равны; и
2) если в системе счисления с нечетным основанием (> 1) у двух чисел, не кратных основанию и записанных в стандартной и в избыточно-недостаточной форме (a = pn + d и a* = qn - g), их последние цифры в абсолютных значениях равны (d = g), то сами эти числа не равны (a =/ a*).
Действительно, в равных числах (а = 20 + 7 и а* = 30 - 3) последние "цифры" - вернее, однозначные окончания (7 и 3) - по модулю не равны, как не равны и моменты времени "3 часа 5 минут" и "4 часа без 5 минут". Конечно, в системе счисления с четным основанием (в двух формах записи одного и того же числа) равенство однозначных окончаний (по абсолютному значению) возможно. Например, 20 + 5 = 10 - 5. А вот при нечетном основании такое равенство исключается: если одно из окончаний четно, то другое - нечетно.

Для завершения анализа Леммы остается сказать совсем немногое:

а) все цифры-коэффициенты у положительного числа, записанного в стандартной форме, положительны, а у отрицательного - отрицательны;
б) у положительного числа, записанного в избыточно-недостаточной форме, последняя цифра-коэффициент (т.е. однозначное окончание) отрицательна, а у отрицательного - положительна;
в) напомним, что, в отличие от чисел и числовых окончаний, сами цифры во всех случаях положительны.
г) все сказанное о числах, записанных в избыточно-недостаточной форме, распространяется и на значимые части чисел, оканчивающихся на равное количество нулей (после отбрасывания последних). Например: 3000 + 800 = 4000 - 200. Но если у чисел "b" и "c*" их однозначные окончания "b_1" и "c*_1" по модулю равны (т.е. \b_1\ = \c*_1\), то числа "b" (= pn + b_1) и "c*" (= qn - c_1) не равны.

Забегая вперед, я покажу суть элементарного доказательства ВТФ в общих чертах. После разложения биномов Ньютона для чисел a, b, c и применения малой теоремы Ферма равенство Ферма превращается (после отбрасывания нулей) в равенство двух чисел - с равными по модулю цифровыми окончаниями. При этом эти числа имеют разные формы записи: одно из них - каноническую, второе - в избыточно-недостаточную. Следовательно, на основании нашей Леммы равенство Ферма невозможно.

Продолжение следует:

Скачать в формате Word (18 kb) http://fox.ivlim.ru/docs/sorokine/Rasskaz1.doc




Виктор Сорокин